已知椭圆x＝4cosθy＝5sinθ上两个相邻顶点为A、C，又B、D为椭圆上的两个动点，且B、D分别在直线AC的两旁，求四边形ABCD面积的最大值．

Question

已知椭圆

x＝4cosθ

y＝5sinθ

上两个相邻顶点为A、C，又B、D为椭圆上的两个动点，且B、D分别在直线AC的两旁，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

将椭圆

x＝4cosθ

y＝5sinθ

化成标准方程，得(y2)/(25)+(x2)/(16)＝1，作出它的图形如右图
设A（0，5），C（4，0），B、D为椭圆上两点，且位于AC的两侧
则四边形ABCD的面积S=S_△ACD+S_△ACB，而S_△ACB=(1)/(2)AC•h₁，S_△ACD=(1)/(2)AC•h₂
∴四边形ABCD的面积S=(1)/(2)AC•h₁+(1)/(2)AC•h₂=(1)/(2)AC（h₁+h₂），其中h₁、h₂分别为点B、D到AC的距离
因此，当平行于AC的直线l₁与椭圆相切于点B时，h₁达到最大值；当平行于AC的直线l₂与椭圆相切于点D时，h₂达到最大值．
设点B（x₁，y₁），得直线l₁的方程为：(y1y)/(25)+(x1x)/(16)＝1
∵

(y12)/(25)+(x12)/(16)＝1

K AC＝−(5)/(4)＝−(25x1)/(16y1)＝Kl1

，
∴

x1＝2√(2)

y1＝(5)/(2)√(2)

，可得点B（2√(2)，(5)/(2)√(2)）
∵直线AC的方程为y=-(5)/(4)x+5，即5x+4y-20=0，
∴点B到AC的距离为：(|5×2√(2)+4×(5)/(2)√(2)−20|)/(√(52+42))=(√(41))/(41)(20√(2)−20)，即h₁的最大值为(√(41))/(41)(20√(2)−20)
同理，可得点D（-2√(2)，-(5)/(2)√(2)），D到AC的距离为(√(41))/(41)(20√(2)+20)，即h₂的最大值为(√(41))/(41)(20√(2)+20)，
∴四边形ABCD的面积S的最大值为(1)/(2)AC[(√(41))/(41)(20√(2)−20)+(√(41))/(41)(20√(2)+20)]=(1)/(2)×√(41)×(√(41))/(41)×40√(2)=20√(2)