各项均为正数的等比数列{an}，a1=1，a2a4=16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=3n2+n2（n∈N+）．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）cn=anbn（n∈N+），求数列{cn}的前n项和Tn；（3）若dn=an+（-1）nbn，

Question

各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=(3n2+n)/(2)（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）c_n=a_nb_n（n∈N⁺），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）若d_n=a_n+（-1）ⁿb_n，设数列{d_n}的前n项和为U_n，求U_n．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=1，a₂a₄=16，可得q⁴=16，解得q=2，（-2舍去），
即有a_n=2^n-1：
由S_n=(3n2+n)/(2)（n∈N⁺），可得a₁=S₁=2，
n>1时，a_n=S_n-S_n-1=(3n2+n)/(2)-(3(n-1)2+(n-1))/(2)
=3n-1，对n=1也成立，
则b_n=3n-1；
（2）c_n=a_nb_n=（3n-1）•2^n-1，
T_n=2+5•2+8•2²+…+（3n-1）•2^n-1，
2T_n=2•2+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=2+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-1）•2ⁿ，
=2+3•(2(1-2n-1))/(1-2)-（3n-1）•2ⁿ，
化简可得T_n=4+（3n-4）•2ⁿ；
（3）d_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（3n-1），
当n为偶数时，U_n=（1+2+…+2^n-1）+（-2+5）+（-8+11）+…+（-3n+4+3n-1）
=(1-2n)/(1-2)+(3n)/(2)=(3)/(2)n+2ⁿ-1；
当n为奇数时，U_n=U_n-1+d_n=(3)/(2)（n-1）+2^n-1-1+2^n-1-（3n-1）
=2ⁿ-(3n+3)/(2)．
即有U_n=

2n-(3n+3)/(2)，n为奇数

2n+(3n-2)/(2)，n为偶数

．