如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1=4，AB=2，E是棱CC1上的一个动点．（Ⅰ）求证：BE∥平面AA1D1D；（Ⅱ）当CE=1时，求二面角B-ED-C的大小；（Ⅲ）当CE等于何值时，A1C⊥平面BDE．

Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，E是棱CC₁上的一个动点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面AA₁D₁D；
（Ⅱ）当CE=1时，求二面角B-ED-C的大小；
（Ⅲ）当CE等于何值时，A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

方法一：
（Ⅰ）证明：由已知，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，
所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D，
又因为BE⊂平面BB₁C₁C，
所以，BE∥平面AA₁D₁D．（4分）

（Ⅱ）如图，过C作CH⊥ED于H，连接BH．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，所以BC⊥平面C₁CDD₁．
则CH是斜线BH在面C₁CDD₁上的射影，所以BH⊥ED．
所以∠BHC是二面角B-ED-C的平面角．
在Rt△ECD中，易知CH•ED=EC•CD．
因为EC＝1，CD＝2，ED＝√(5)，所以CH＝(2)/(√(5))．
在Rt△BCH中，tan∠BHC＝(BC)/(CH)＝(2)/((2)/(√(5)))＝√(5)，所以∠BHC＝arctan√(5)，
所以，二面角B-ED-C的大小是arctan√(5)．（9分）

（Ⅲ）如图，连接AC交BD于点O，
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为正四棱柱，AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，A₁C⊥BD．
连接B₁C，因为A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，
所以B₁C是A₁C在平面B₁BCC₁上的射影．
要使A₁C⊥平面BDE，只需A₁C⊥BE，由三垂线定理可知，只需B₁C⊥BE．
由平面几何知识可知，
B₁C⊥BE⇔△BCE∽△B₁BC⇔

作业帮用户 2017-09-22

问题解析

方法一：
（1）证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D，BE⊂平面BB₁C₁C，所以BE∥平面AA₁D₁D．
（2）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．BC⊥平面C₁CDD₁，所以过C作CH⊥ED于H，连接BH，则∠BHC是二面角B-ED-C的平面角．
（3）由三垂线定理可知，A₁C⊥BD；故只需要在平面BDE再构造一条相交直线与A₁C垂直即可：连接B₁C，因为A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，所以B₁C是A₁C在平面B₁BCC₁上的射影，由三垂线定理可知，只需B₁C⊥BE，则A₁C⊥BE
方法二：
以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．

名师点评

本题考点：

平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

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