如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；

Question

如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）求直线CD的函数解析式；
（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．

Answer 1

（1）C为弧OB的中点．理由如下：
连接AC；∵OC⊥OA，
∴AC为圆的直径，（1分）
∴∠ABC=90°；
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，
∵∠ACB=∠AOB=60°，
∴∠COB=∠OBC=30°，
∴弧OC=弧BC；（2分）
即C为弧OB的中点．

（2）过点B作BE⊥OA于E；
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴OE=1，BE=√(3)，
∴点B的坐标是（1，√(3)）；（3分）
∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，
∴AC⊥CD，AC⊥OB，
∴∠CAO=∠OCD=30°，
∴OC＝(2)/(3)√(3)，
∴C（0，(2)/(3)√(3)）；（4分）

（3）在△COD中，∠COD=90°，OC＝(2)/(3)√(3)，
∵∠OCD=∠CAO=(1)/(2)∠COD=30°，
∴DC=2DO，
∵CD²=DO²+CO²，
∴（2OD）²=DO²+CO²，
∴OD=(2)/(3)，
则有D（-(2)/(3)，0）；（5分）
∴直线CD的解析式为：y＝√(3)x+(2)/(3)√(3)（6分）

（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，
∴∠CDO=∠DCP=60°，（7分）
∴∠OCP=∠COB=30°，
∴PC=PO（8分）；
过点P作PF⊥OC于F，则OF=(1)/(2)OC=(1)/(3)√(3)，
∴PF=(1)/(3)，
∴点P的坐标为：（(1)/(3)，(1)/(3)√(3)）．（9分）