数学问题:在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中1,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小(结果用反三角函数值表示)答案:arc

Question

数学问题:在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中1,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP (1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小(结果用反三角函数值表示) 答案:arccos√561/33 (2)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP 答案: (3)求点P到ABD1的距离 答案:3√2/2 2,将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,异面直线AB与CD所成角的余弦____1/2_______ 最好解析一下

Answer 1

(1)连接BP ，AB垂直平面BCC1B1 ，所以AP与平面BCC1B1所成的角就是角APB 。 CC1=4=4CP ，CP=1 ，所以BP=根号17 ，tanAPB=4根号17/17 ， 即AP与平面BCC1B1所成的角为arctan4根号17/17=arccos√561/33 ； (2)连接A1C1 ，B1D1交于点O ， 正方形A1B1C1D1中有A1C1垂直B1D1 ，又CC1垂直平面A1B1C1D1 ， 所以CC1垂直B1D1，B1D1垂直平面APC1A1 ，B1D1垂直AP，即D1O垂直AP， 而D1O在平面D1AP内的射影为D1H ， 所以D1H⊥AP； (3)连接BC1，过点P作PE垂直BC1于E，由AB垂直平面BC1 ， 得到AB垂直PE ， PE垂直平面ABD1，则PE长为点P到平面ABD1的距离， 在正方形BC1中，可求得PE=根号2PC1/2=3根号2/3 ， 即点P到平面ABD1的距离为3根号2/3 。 设正方形边长是a,那么对角线AC=根号2a 正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角 那么可以知道，此时BD垂直AC 过B做BE平行AC，且BE=AC=根号2a，所以ABEC为平行四边形 所以BD垂直BE 因为是直二面角 取AC中点O 有BD^2=BO^2+OD^2=(根号2a/2)^2+(根号2a/2)^2=a^2 因为BD垂直BE 所以DE^2=BD^2+BE^2=3a^2,DE=根号3a 因为CE平行AB 所以AB与CD所成角等于CE与CD成角 因为CD=CE=a 由余弦定理cos角DCE=(CD^2+CE^2-DE^2)/2CD*CE=(a^2+a^2-3a^2)/2a^2=-1/2 所以角DCE=120度 因为两条直线成角范围在0到90度之间 所以AB与CD成角=180-120=60度 因此AB与CD所成角的余弦=cos60=1/2