已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x.设有且仅有一个实数x1,使得f(x1)=x1,求函数f(x)的解析表达式.

Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x.
设有且仅有一个实数x1,使得f(x1)=x1,求函数f(x)的解析表达式.

Answer 1

因为 定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x
而且 有且仅有一个实数x1,使得f(x1)=x1
所以 对于任意的f(x)有f(x)－x^2＋x＝x1
可得 f(x1)-x1^2+x1=x1
因为 f(x1)=x1
得出 x1-x1^2=0
算得 x1=0或x1=1
设x1=0,得
f(x)－x^2＋x＝0
f(x)=x^2－x
x1=x1^2-x1产生两个解
x1=0不符合题目意思,舍去
设x1=1,得
f(x)－x^2＋x＝1
f(x)＝x^2－x＋1
x1=x1^2-x1+1
x1只有唯一解x1=1
所以,
函数f(x)的解析表达式为f(x)＝x^2－x＋1(x为实数)