如图，抛物线y=-x2+2nx+n2-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M

Question

如图，抛物线y=-x ² +2nx+n ² -9（n为常数）经过坐标原点和x轴上另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；
（2）在四边形OABC内有一矩形MNPQ，点M，N分别在OA，BC上，A点坐标为（2，8）B点坐标为（4，8），点Q，P在x轴上．当MN为多少时，矩形MNPQ的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

（1）∵抛物线过（0，0）点．
∴n ² -9=0（1分）
∴n=±3，（2分）
∵顶点在第一象限，
∴- (b)/(2a) =n＞0且 (4ac- b2)/(4a) = (-4 n2)/(-4) =n ² ＞0（不写不扣分），
∴n=3（3分）
∴抛物线y=-x ² +6x（4分）
顶点坐标为（3，9）．（5分）

（2）如图所示，作AH⊥x轴于H．
设M点的坐标为（x，y）
∴△OMQ ∽ △OAH，
∴ (OQ)/(OH) = (MQ)/(AH) （7分）
∴ (x)/(2) = (y)/(8) ，
∴y=4x（8分）
由抛物线的对称性可知：QP=MN=6-2x．（9分）
∴S _MNPQ =4x（6-2x）=-8x ² +24x（10分）
∴当x=- (b)/(2a) =- (24)/(-16) = (3)/(2) 时，（11分）MN=6- (3)/(2) ×2=3时，S _MNPQ最大 =-8× (9)/(4) +24× (3)/(2) =18，
答：MN等于3时，矩形MNPQ的最大面积是18．（12分）