复数z=(1+i)3(a+bi)1−i且|z|=4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，.z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

Question

复数z=((1+i)3(a+bi))/(1−i)且|z|=4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，

.

z

对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

Answer 1

∵复数z=((1+i)3(a+bi))/(1−i)=((1+i)4(a+bi))/((1−i)(1+i))=-2a-2bi．
由|z|=4，得a²+b²=4 ①，
∵复数0，z，

.

z

对应的点构成正三角形，
∴|z-

.

z

|=|z|．
把z=-2a-2bi代入化简得|b|=1②．
又∵Z点在第一象限，
∴a＜0，b＜0 ③．
由①②③得

a＝−√(3)

b＝−1

，故所求值为a=-√(3)，b=-1．