（2013•南通二模）设无穷数列{an}满足：∀n∈N*，an＜an+1，an∈N*．记bn＝aan，cn＝aan+1(n∈N*)．（1）若bn＝3n(n∈N*)，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{cn}是公差为1的等差数列，问{an}是否为等

Question

（2013•南通二模）设无穷数列{a_n}满足：∀n∈N^*，a_n＜a_n+1，an∈N*．记bn＝aan，  cn＝aan+1(n∈N*)．
（1）若bn＝3n(n∈N*)，求证：a₁=2，并求c₁的值；
（2）若{c_n}是公差为1的等差数列，问{a_n}是否为等差数列，证明你的结论．

Answer 1

（1）因为an∈N*，所以若a₁=1，则aa1＝a1＝3矛盾，
若a1≥3＝aa1，可得1≥a₁≥3矛盾，所以a₁=2． 
于是a2＝aa1＝3，
从而c1＝aa1+1＝a3＝aa2＝6． 
（2）{a_n}是公差为1的等差数列，证明如下：
a_n+1＞a_n⇒n≥2时，a_n＞a_n-1，
所以a_n≥a_n-1+1⇒a_n≥a_m+（n-m），（m＜n）⇒aan+1+1≥aan+1+an+1+1−(an+1)，即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，
由题设，1≥a_n+1-a_n，又a_n+1-a_n≥1，
所以a_n+1-a_n=1，即{a_n}是等差数列．