不定方程x²-2y²=5的正整数解(x,y)的组数有多少

Question

不定方程x²-2y²=5的正整数解(x,y)的组数有多少

Answer 1

一个整数如果不能被 5 整除,那么它的平方被 5 除的余数只可能是 ±1,
因此模 5 知,左边 ≡ 0,±1,±2,而右边 ≡ 0 ,(mod 5) ,
所以 x ≡ y ≡ 0 (mod 5) ,
设 x=5m,y=5n ,则 5(m^2-2n^2)=1 ,
上式不可能成立,
因此满足方程的 (x,y) 不存在,即解数为 0 .