已知函数f（x）=x2+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2ex+3x2（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值点的个数；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点，求实数

Question

已知函数f（x）=x²+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2e^x+3x²（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=(2)/(x)+2x+2a，x∈（0，+∞），
∴(2)/(x)+2x+2a≥2√((2)/(a)×2a)+2a=4+2a，
∴f'（x）∈[4+2a，+∞），
①当4+2a≥0，即a∈[-2，+∞）时，f'（x）≥0对∀x>0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）没有极值点；
②当4+2a<0，即a∈（-∞，-2）时，方程x²+ax+1=0有两个不等正数解x₁，x₂，
f′(x)=(2)/(x)+2x+2a=(2(x2+ax+1))/(x)=(2(x-x1)(x-x2))/(x)(x>0)，
不妨设0<x₁<x₂，则当x∈（0，x₁）时，f'（x）>0，f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）<0，f（x）为减函数；x∈（x₂，+∞）时，f'（x）>0，f（x）为增函数，
∴x₁，x₂分别为f（x）极大值点和极小值点，即f（x）有两个极值点．
综上所述，当a∈[-2，+∞）时，f（x）没有极值点；当a∈（-∞，-2）时，f（x）有两个极值点．
（Ⅱ）令f（x）=g（x），得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，
∵x>0，∴a=(ex+x2-lnx)/(x)，
令φ(x)=(ex+x2-lnx)/(x)（x>0），φ′(x)=((ex-(1)/(x)+2x)x-(ex+x2-lnx))/(x2)=(ex(x-1)+lnx+(x-1)(x+1))/(x2)，
∵x>0，∴x∈（0，1）时，φ'（x）<0，φ（x）为减函数；x∈（1，+∞）时，φ'（x）>0，φ（x）为增函数，
∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
当x→0时，φ（x）→+∞，当x→+∞时，φ（x）→+∞，
∵函数y=f（x）图象与函数y=g（x）图象有两个不同交点，
∴实数a的取值范围为（e+1，+∞）．