抽象函数的柯西解法,一题f(x)在[1,+∞)上单调递增,且对任意x,y∈[1,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,证明：存在常数k,使f(x)=kx在x∈[1,+∞)上成立.求此题的解法,

Question

抽象函数的柯西解法,一题
f(x)在[1,+∞)上单调递增,且对任意x,y∈[1,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,证明：存在常数k,使f(x)=kx在x∈[1,+∞)上成立.
求此题的解法,

Answer 1

证明设f(1)=k,则对任意正整数x,有f(x)=kx,用归纳法证明,当x=1时显然成立,归纳法如果对任意x-1,有f(x-1)=k(x-1),那么由f(x)的性质
f(x)= f((x-1)+1)= f(x-1)+ f(1)= k(x-1)+ k= kx
x时也成立,即对任意正整数x,有f(x)=kx.
由f(x)的性质得f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x), f(3x)=f(2x)+f(x)=3f(x),…依次类推,对任意正整数n有f(nx)=nf(x),取x=1/n,f(1)=nf(1/n),f(1/n)= f(1)/n=k/n,故对任意正整数m,n,f(m/n)= f(1/n)+ f(1/n)+…+ f(1/n)=km/n,即当x=m/n, f(x)=kx,即对任意≥1的有理数x,也有f(x)=kx.
设x是[1,+∞)的任意实数,则必存在有理数序列x1,x2,…,xn,…递增收敛于x, 同时存在有理数序列y1,y2,…,yn,…递减收敛于x,即对任意n=1,2,…均有xn