已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,求此时双曲线的离心率e的最大值

Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的左右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,求此时双曲线的离心率e的最大值

Answer 1

P点在双曲线右支上活动,
P点距左准线的距离等于|PF1|/e,P点距右准线的距离等于|PF2|/e,
两者之比等于|PF1|/|PF2|
∴当P点位于双曲线右支与x轴交点时,|PF1|/|PF2|取得最大值：|PF1|/|PF2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1),（分子分母同除以一个a）
也就是说,当(e+1)/(e-1)＜4时,也有|PF1|/|PF2|＜4
于是,由题中|PF1|=4|PF2|,有(e+1)/(e-1)≥4
对于双曲线有e＞1,所以e+1≥4e-4,e≤5/3
所以为最大值为：5/3.
希望对你有所帮助