在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AD=3,AB=CD=4,BC=5,∠B平分线交DC与点E,交AD的延长线于点F（1）如图1,若∠C的平分线交BE于点G,写出图中所有的相似三角形；（2）在（1）的条件下求BG的长（3）若点P为BE上

Question

在等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AD=3,AB=CD=4,BC=5,∠B平分线交DC与点E,交AD的延长线于点F
（1）如图1,若∠C的平分线交BE于点G,写出图中所有的相似三角形；
（2）在（1）的条件下求BG的长
（3）若点P为BE 上动点,以点P为圆心,BP为半径的圆P与线段BC交于点Q,请直接写.

Answer 1

（1）△ABF∽△GBC,△FDE∽△CGE∽△BCE．
（2）∵BE平分∠B,
∴∠ABE=∠EBC,
∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AFB,
∴AB=AF．
∴AF=4,DF=1．
∵AD∥BC,
∴DF：BC=DE：EC,
∴DE=
2
3
,CE=
10
3
．
∵AD∥BC,AB=CD,
∴∠BCD=∠ABC．
∵CG平分∠BCD,BE平分∠ABC,
∴∠CBG=∠BCG,
∴BG=CG．
设BG=CG=x,则由△FDE∽△CGE,得
DF：CG=DE：GE,
∴GE=
2
3
x．
又由△CGE∽△BCE,得
EC2=EG•EB,
即(
10
3
)2=
2
3
x•（x+
2
3
x）,
∴x=
10
,
即BG=
10
．
（3）①连接AP,当BP=AP时,点A在圆P上,此时△ABP∽△ABF,求得BP=
4
5
10
,
即BP＞AP时,点A在⊙P内．
∴当
4
5
10
＜AP≤
10
时,点A在⊙P内．
②根据①求得BE=
5
3
10
,
∴BP＜
1
2
BE,即BP＜
5
6
10
时,点A在⊙P内而点E在⊙P外
∴当
4
5
10
＜BP＜
5
6
10
时,点A在⊙P内而点E在⊙P外．