一直线截三角形ABC三边AB、AC、BC或与其延长线于X、Y、Z.求证:AX/XB*BZ/CZ*CY/AY=1

Question

一直线截三角形ABC三边AB、AC、BC或与其延长线于X、Y、Z.求证:AX/XB*BZ/CZ*CY/AY=1

Answer 1

要证:Ax/xB*Bz/Cz*Cy/Ay=1 ,（*为乘号）
只须证明:Ax/xB*Bz/Cz=AY/CY
（过A作AD//BC交ZX延长线于D,则AX/XB=AD/BZ）
因此只须证明：AD/BZ*Bz/Cz=AY/CY,
即须证AD/CZ=AY/CY
这时变成四条线段的比例关系且结论明显了!
证明：
过A作AD//BC交YX于D,
则AX/XB=AD/BZ,AD/CZ=AY/CY,
∴AD/BZ*Bz/Cz=AY/CY
∴AX/XB*Bz/Cz=AY/CY,
∴Ax/xB*Bz/Cz*Cy/Ay=1.