设函数f（x）=x3+x，x∈R（1）用单调性的定义证明f（x）是R上的增函数．（2）设a，b，c∈R，a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，求证：f（a）+f（b）+f（c）＞0．

Question

设函数f（x）=x³+x，x∈R
（1）用单调性的定义证明f（x）是R上的增函数．
（2）设a，b，c∈R，a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，求证：f（a）+f（b）+f（c）＞0．

Answer 1

（1）设任意实数x₁、x₂满足x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁³+x₁-（x₂³+x₂）
=（x₁³-x₂³）+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）=（x₁-x₂）[（x₁+(1)/(2)x₂）²+(3)/(4)x₂²+1]
∵x₁＜x₂，（x₁+(1)/(2)x₂）²+(3)/(4)x₂²+1≥1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0得f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数
∵a+b＞0，得a＞-b，且f（x）是R上的增函数，
∴f（a）＞f（-b），可得f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0
同理可得f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0
将以上三个不等式相加，可得2[f（a）+f（b）+f（c）]＞0
∴f（a）+f（b）+f（c）＞0，不等式成立