使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为．

Question

使得5×2^m+1是完全平方数的整数m的个数为______．

Answer 1

设5×2^m+1=n² （其中n为正整数），
则5×2^m=n²-1=（n+1）（n-1），
∵5×2^m是偶数，
∴n为奇数，
设n=2k-1（其中k是正整数），
则5×2^m=4k（k-1），
即5×2^m-2=k（k-1）．
显然k＞1，
∵k和k-1互质，
∴

k＝5×2m−2

k−1＝1

或

k＝5

k−1＝2m−2

或

k＝2m−2

k−1＝5

，
解得：k=5，m=4．
因此，满足要求的整数m只有1个．
故答案为：1．