设A∈R5*4,R(A)=2,已知x1,x2,x3为Ax=b的三个解,且x1+x2=（4,6,-8,4）T,x2=（1,2,-1,1）T,又知（0,1,-3,0）为Ax=0的解,求Ax=b的通解.非常感谢老师,您辛苦了.

Question

设A∈R5*4,R(A)=2,已知x1,x2,x3为Ax=b的三个解,且x1+x2=（4,6,-8,4）T,x2=（1,2,-1,1）T,又知
（0,1,-3,0）为Ax=0的解,求Ax=b的通解.非常感谢老师,您辛苦了.

Answer 1

因为 r(A)=2
所以 Ax=0 的基础解系含 4-r(A) = 2 个向量.
因为 x1-x2 = x1+x2 - 2x2 = (2, 2, -10, 2)^T 是Ax=0的解
所以 (2, 2, -10, 2)^T, (0,1,-3,0)^T 是 Ax=0 的基础解系
所以 Ax=b 的通解为 x2 + k1(2, 2, -10, 2)^T +k2(0,1,-3,0)^T.