如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2．（1）求证：A1C1∥面ABCD；（2）求AC1与底面ABCD所成角的正切值．

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2．
（1）求证：A₁C₁∥面ABCD；
（2）求AC₁与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：连接AC，则四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC，
∵A₁C₁⊄面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴A₁C₁∥面ABCD；
（2）根据长方体的性质，可得AC是AC₁在底面ABCD的射影，∠C₁AC为对角线AC₁与底面ABCD所成角．
∵AB=AD=1，AA₁=2，
∴AC=√(2)，CC₁=2，
在Rt△C₁AC中，tan∠C₁AC=(2)/(√(2))=√(2)．