（2013•海口二模）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求异面直线BS与AC所成角的大小．

Question

（2013•海口二模）如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求异面直线BS与AC所成角的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，所以SB=SC
又O为BC中点，所以SO⊥BC
连OA，设AB=2，由∠BAC=90°易求得0A=S0=√(2)
所以OA²+SO²=SA²，所以OA⊥SO
因为OA，BC是平面ABC内的两条相交直线，所以SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）分别取AB、SC、OC的中点N、M、H，连MN、OM、ON、HN、HM，
由三角形中位线定理
ON∥AC，ON=(1)/(2)AC，OM∥BS，OM=(1)/(2)BS，HM∥OS，HM=(1)/(2)OS
所以OM、ON所成角即为异面直线BS与AC所成角
设AB=2，易求得                    
IN=IM=1，MN=√(3)
|cos∠MON|=|(ON2+OM2−MN2)/(2•ON•OM)|=(1)/(2)
所以异面直线BS与AC所成角的大小为(π)/(3)．