已知抛物线C：y=ax^2,p(1,-1)在抛物线C上,过点P作斜率为K1,K2的两条直线,分别交抛物线C于异于点P的两点A(x1,y1)B(x2,y2)且满足k1+k2=01,求抛物线C的焦点坐标2,若点M满足向量BM=向量MA,求点M的轨迹方程

Question

已知抛物线C：y=ax^2,p(1,-1)在抛物线C上,过点P作斜率为K1,K2的两条直线,分别交抛物线C于异于点P的两点A(x1,y1)B(x2,y2)且满足k1+k2=0
1,求抛物线C的焦点坐标
2,若点M满足向量BM=向量MA,求点M的轨迹方程

Answer 1

1、代入易得a=-1,焦点坐标为（0,-1/4）,解析式为y=-x^2
2、根据题意得K2=-K1,过点A的直线方程为：y+1=K1(x-1);过点B的直线方程为：y+1=-K1(x-1)
分别与抛物线y=-x^2联立解方程组,舍去x=1的解分别得到x1=-k1-1,y1=-(-k1-1)^2
x2=k1-1,y2=-(k1-1)^2,并且-k1-1≠1,k1-1≠1,即k1≠±2设M（x,y）
向量BM=(x-(k1-1),y+(k1-1)^2),向量MA=(-k1-1-x,-(-k1-1)^2-y)
他们相等可得：x-(k1-1)=-k1-1-x,y+(k1-1)^2=-(-k1-1)^2-y
整理得x=-1,y=-k1^2-1（k1≠±2）这就是点M的轨迹方程
你可以画图看看,它的图象是一条射线上去掉一点（-1,-5）
不要被y的表达式迷惑,它只表示纵坐标的取值