已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F（-2,0）,且长轴长与短轴长的比是2：根号3设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当丨向量MP丨最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值

Question

已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F（-2,0）,且长轴长与短轴长的比是2：根号3
设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当丨向量MP丨最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围

Answer 1

由长轴长与短轴长的比是2：根号3,得
a:b=2:√3,
∴a^2:b^2=4:3,
由一个焦点为F（-2,0）,得a^2-b^2=4,
解得a^2=16,b^2=12,
椭圆方程为x^2/16+y^2/12=1.
∴设P（4cost,2√3sint),由t=0时|MP|最小,得
MP^2=(m-4cost)^2+12(sint)^2>=(m-4)^2,
8m(1-cost)>=4-4(cost)^2,
2m>=1+cost,
m>=1,
点M(m,0)在椭圆C的长轴上,
∴-4