如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管固定子啊竖直平面内，其中A、B为最高、最低点、两个质量均为m的小球a、b以不同的速率水平向右从B点进入管内，a球通过最高点A时，对管壁上部

Question

如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管固定子啊竖直平面内，其中A、B为最高、最低点、两个质量均为m的小球a、b以不同的速率水平向右从B点进入管内，a球通过最高点A时，对管壁上部的压力为3mg；b通过最高点A时，对管壁下部的压力为0.75mg，求：

（1）a、b两球落地点间的距离
（2）a、b两球落地时的速率之比．

Answer 1

两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：3mg+mg=m(v2A)/(R)
解得
v_A=√(4gR)
对B球：mg-0.75mg=m(v2B)/(R)
解得
v_B=√((1)/(4)gR)
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为：
s_A=v_At=v_A√((4R)/(g))=4R
s_B=v_Bt=v_B√((4R)/(g))=R
解得：s_A-s_B=3R
即a、b两球落地点间的距离为3R
（2）小球落地时的速度分别设为v_a'，v_b'；则有：
(1)/(2)mv_a′²-(1)/(2)mv_a²=mg2R
(1)/(2)mv_b′²-(1)/(2)mv_b²=mg2R
解得：(v′a)/(v′b)=√((32)/(17))
答：（1）a、b两球落地点间的距离为3R；
（2）a、b两球落地时的速率之比为√((32)/(17))