如图，点C是以AB为直径的O上一点，CD是O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC=2CE=6，求O的半径；（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明

Question

如图，点C是以AB为直径的 O上一点，CD是 O切线，D在AB的延长线上，作AE⊥CD于E．

（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC=2CE=6，求 O的半径；
（3）请探索：线段AD，BD，CD之间有何数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵CD是 O切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠EAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠EAC=∠A=CAO，
即AC平分∠BAE；

（2） 连接BC，
∵AE⊥CE，AC=2CE=6，
∴sin∠CAE=(CE)/(AC)=(1)/(2)，
∴∠CAE=30°，
∴∠CAB=∠CAE=30°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos∠CAB=(AC)/(AB)=(√(3))/(2)，
∴AB=4√(3)，
∴ O的半径是2√(3)；

（3）CD²=BD•AD，
证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠DCB=∠ACO，
∴∠DCB=∠ACO=∠CAD，
∵∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴(BD)/(CD)=(CD)/(AD)，
即CD²=BD•AD．