模长一定的向量求导!在笛卡尔标准正交基中,点的位置随着时间变化,现有一个模长一定的向量,要求他的导数,请问1,怎么求?2,导数的意义是什么?3,此向量和他的导数在某种情况下是垂直的是什

Question

模长一定的向量求导!
在笛卡尔标准正交基中,点的位置随着时间变化,现有一个模长一定的向量,要求他的导数,请问
1,怎么求?
2,导数的意义是什么?
3,此向量和他的导数在某种情况下是垂直的是什么意思?
还有另一个小问题：笛卡尔标准正交基一定是三维的吗?

Answer 1

为了简单,只就平面上的向量讨论.
把向量的起点固定在原点,则它的终点（x,y）,满足x²+y²＝a²,（模长为a）
1.怎么求?设自变量为t,“导数”为（dx/dt,dy/dt）,有
2xdx+2ydy＝0.dy／dx＝-x/y.
2,导数的意义是什么?也是一个向量.表示（x,y）的变化“速度”
3,此向量和他的导数在某种情况下是垂直的是什么意思?
原来向量斜率为y/x,“导数”的斜率是（-x/y）,
（y/x）（-x/y）＝-1.即这两个向量是垂直的,
还有另一个小问题：笛卡尔标准正交基一定是三维的吗?
要看空间的维数,笛卡尔标准正交基的维数＝空间的维数.