如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，求OI的长．

Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，求OI的长．

Answer 1

作OD⊥AC于点D，IE⊥AC于点E，IF⊥BC于点F，交OD于点G．
则四边形IECF是正方形，四边形IEDG是矩形．
则IE=CE=CF=IF=(3×4)/(3+4+5)=1，
∵O是外心，
∴OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=(1)/(2)BC=(1)/(2)×4=2，CD=(1)/(2)AC=(3)/(2)，
∴OG=2-1=1，GI=(3)/(2)-1=(1)/(2)．
在直角△OGI中，OI=√(OG2+GI2)=√(12+((1)/(2))2)=(√(5))/(2)．