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在三角形ABC中,已知BC=2AB,AD是BC边上的中线,AE是BD边上的中线,问AC与AE的长度有何等量关系?证明你的结论
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在三角形ABC中,已知BC=2AB,AD是BC边上的中线,AE是BD边上的中线,问AC与AE的长度有何等量关系?证明你的结论
▼优质解答
答案和解析
延长AD至F,使DF=AD,连结BF；延长AE至G,使AE=EG,连结GD；
此时,因为AD为△ABC中线,所以△BDF≌△ADC,所以DF=AD．．．①；
又AE为△ABD中线,所以△ABE≌△GDE,所以DG=AB,又AB=BD,所以DG=BD．．．②；
又△ABD为等腰△,所以∠BDA=∠BAD．又DG平行于AB,所以∠FDG=∠BAD,所以∠BDA=∠FDG,因此∠ADG=∠BDF．．．③；
根据①②③得△ADG≌△BDF,所以
AC=BF=AG=2AE
此时,因为AD为△ABC中线,所以△BDF≌△ADC,所以DF=AD．．．①；
又AE为△ABD中线,所以△ABE≌△GDE,所以DG=AB,又AB=BD,所以DG=BD．．．②；
又△ABD为等腰△,所以∠BDA=∠BAD．又DG平行于AB,所以∠FDG=∠BAD,所以∠BDA=∠FDG,因此∠ADG=∠BDF．．．③；
根据①②③得△ADG≌△BDF,所以
AC=BF=AG=2AE
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