一阶非线性微分方程的解法有几种,具体是哪几种啊?

Question

一阶非线性微分方程的解法有几种,具体是哪几种啊?

Answer 1

一阶微分方程的一般形式是 F(y',y,x)=0(隐式),如果可以化成 y'=f(y,x)(显式),一般按以下步骤来解(做到这步有时并不容易)：
(1)考虑能否化成 y'=P(x)Q(y),若能,则是变量可分离,分离变量,再两边积分.
(2)考虑能否化成 y'=p(y/x),若能,则是齐次微分方程,用变量替换u=y/x,化成(1).
(3)考虑能否化成 y'=P(x)y+Q(x),则是一阶线性微分方程,一阶齐次线性微分是变量可分离,一阶非齐次线性微分方程用常数变易法.
(4)化成 P(x,y)dx +Q(x,y)dy=0,判断是否为全微分方程,或者用积分因子化成全微分方程.
(5)化成 y' = P(x) y^n +Q(x),是伯努利方程,用变量替换z=y^(1-n)
(6)上述均未能解出,将方程写成dx/dy= f(x,y),视y为自变量,再按以上步骤考察.
(7)采用变量替换,如u=xy,或 u=x+y等,变形方程再考察.
最后说明,如果您是文史类数学（数学三）,（4）（5）两种情况不须考虑.