如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中．（Ⅰ）若E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使平面A1C1E∥B1D；（Ⅱ）若M为A1B上的一动点，求证：DM∥平面D1B1C．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．

（Ⅰ）若E为棱DD₁上的点，试确定点E的位置，使平面A₁C₁E∥B₁D；
（Ⅱ）若M为A₁B上的一动点，求证：DM∥平面D₁B₁C．

Answer 1

（Ⅰ）当E为棱DD₁上的中点时，平面A₁C₁E∥B₁D；如图，

连接A₁C₁，与D₁B₁相交于O，E为DD₁上的中点，连接OE，得到OE∥B₁D，
OE⊂平面A₁C₁E，B₁D，⊄平面 A₁C₁E，
∴B₁D∥平面A₁C₁E；
（Ⅱ）连接A₁D，BD，因为几何体为正方体，如图，
所以A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，
所以平面A₁BD∥平面D₁B₁C．
DM⊂∥平面DA₁BD．
所以DM∥平面D₁B₁C．