已知一个三次多项式除以x2-9的余式为3x-5，除以x2-16余式-2x-7，求这个三次多项式．

Question

已知一个三次多项式除以x²-9的余式为3x-5，除以x²-16余式-2x-7，求这个三次多项式．

Answer 1

设所求三次多项式A=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
A除以x²-9，x²-16时，商式分别为ax+m，ax+n，
则ax³+bx²+cx+d=（x²-9）（ax+m）+3x-5①，
ax³+bx²+cx+d=（x²-16）（ax+n）-2x-7②，
在①式中分别取x=3，-3时，
27a+9b+3c+d=4③，
-27a+9b-3c+d=-1④，
在②式中分别取x=4，-4时，
64a+16b+4c+d=-15⑤，
-64a+16b-4c+d=1⑥，
联立③④⑤⑥，解得：a=-(17)/(42)，b=-(17)/(14)，c=(94)/(21)，d=(87)/(7)．
故所求的三次多项式为-(17)/(42)x³-(17)/(14)x²+(94)/(21)x+(87)/(7)．