已知函数f（x）=1-xx+klnx，k<1e，求函数f（x）在[1e，e]上的最大值和最小值．

Question

已知函数f（x）=(1-x)/(x)+klnx，k<(1)/(e)，求函数f（x）在[(1)/(e)，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

函数的定义域为（0，+∞），
则函数的导数f′（x）=(k)/(x)-(1)/(x2)=(kx-1)/(x2)=(k(x-(1)/(k)))/(x2)，
若k≤0，则f′（x）≤0，即函数在[(1)/(e)，e]单调递减，则最大值为f（(1)/(e)）=(1-(1)/(e))/((1)/(e))+kln(1)/(e)=e-1-klne，
最小值为f（e）=(1-e)/(e)+k=(1)/(e)+k-1．
若k>0，则由f′（x）>0得x>(1)/(k)，此时函数单调递增，
由f′（x）<0得0<x<(1)/(k)，此时函数单调递减，
即当x=(1)/(k)时，函数取得极小值．
∵k<(1)/(e)，∴(1)/(k)>e，即函数f（x）在[(1)/(e)，e]单调递减，则最大值为f（(1)/(e)）=(1-(1)/(e))/((1)/(e))+kln(1)/(e)=e-1-klne，
最小值为f（e）=(1-e)/(e)+k=(1)/(e)+k-1．
综上函数f（x）的最大值为f（(1)/(e)）=e-1-klne，最小值为f（e）=(1)/(e)+k-1．