（2009•重庆）已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使sinPF1F2sinPF2F1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，2+1]（1，2+1]．

Question

（2009•重庆）已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P使(sinPF1F2)/(sinPF2F1)＝(a)/(c)，则该双曲线的离心率的取值范围是

（1，√(2)+1]

（1，√(2)+1]

．

Answer 1

不防设点P（x_o，y_o）在右支曲线上并注意到x_o≥a．由正弦定理有(sinPF1F2)/(sinPF2F1)＝(PF2)/(PF1)，
由双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex_o，|PF₂|=ex_o-a，
则有(exo−a)/(a+exo)=(a)/(c)，得x_o=(a(a+c))/(ec−ea)＞a，
分子分母同时除以a²，易得：(1+e)/(e2−e)＞1，
解得1＜e＜√(2)+1
故答案为（1，√(2)+1）