已知双曲线x^2-y^2/2=1及点M(1,1)问是否存在过点M的直线L与双曲线相交于A、B两点,且AB的中点恰好为M点,若存在请求出直线L的方程,若不存在请说明理由

Question

已知双曲线x^2-y^2/2=1及点M(1,1)问是否存在过点M的直线L与双曲线相交于A、B两点,且AB的中点恰好为M点,若存在请求出直线L的方程,若不存在请说明理由

Answer 1

设存在这样的直线.并设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1^2-y1^2/2=1 且 x2^2-y2^2/2=1 ,
两式相减得 (x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0 ,
由已知 x1+x2=2 ,y1+y2=2 ,
代入上式可得 (y2-y1)/(x2-x1)=2 ,
即 kAB=2 ,
因此直线方程为 y=2(x-1)+1=2x-1 .
将上式代入双曲线方程得 x^2+(2x-1)^2/2=1 ,
化简得 6x^2-4x-1=0 ,
判别式=16+24=40>0 ,
因此,直线 y=2x-1 即为所求.