已知圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为10，求圆C的方程．

Question

已知圆C经过点A（1，4）、B（3，-2），圆心C到直线AB的距离为√(10)，求圆C的方程．

Answer 1

法Ⅰ：设圆心C（a，b），半径为r
易见线段AB的中点为M（2，1）…（2分）
∵CM⊥AB，kAB=(-2-4)/(3-1)=-3
∴kCM=(b-1)/(a-2)=(1)/(3)即：3b=a+1①…（5分）
又∵|CM|=√(10)∴（a-2）²+（b-1）²=10②…（8分）
联立①②得

a=-1

b=0

或

a=5

b=2

即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）
∴r²=|CA|²=20
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20…（12分）
法Ⅱ：∵A（1，4）、B（3，-2）
∴直线AB的方程为：3x+y-7=0…（2分）
∵线段AB的中点为M（2，1）
∴圆心C落在直线AB的中垂线：x-3y+1=0上．…（4分）
不妨设C（3b-1，b）…（5分）
∴(|3(3b-1)+b-7|)/(√(32+12))=√(10)…（8分）
解得b=0或b=2
即C（-1，0）或C（5，2）…（10分）∴r²=|CA|²=20
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20或（x-5）²+（y-2）²=20…（12分）