球的内接圆三棱锥P-ABC,PA垂直平面ABC,PA=2,三角形ABC边长为根号下3的正三角形,求球面的面积
取三角形ABC的中心为G,球面的直径在过G而垂直于平面ABC的直线上.设此直线与球面的交点为E,F, 由此,EF即为球面的直径.PA垂直于平面ABC,故PA//EF.由此知P,A,E,F共面.而此平面截球面于一个大圆.连接AG并延长交大圆于另一点D.则AD为大圆的弦,而PAD为大圆上的三个点.做PA的垂直平分线RS,与AD的垂直平分线EF相交于O,此点即为大圆的圆心,也就是球面的球心.而OA(同样OP)便是球面的半径.
在三角形ABC中求得中线长为:(根号3)*(根号3)/2= 3/2.
由定理知AG=(2/3)*中线长=(2/3)*(3/2)=1
在直角三角形OAG中,OG=1,AG =1. 故OA=根号2.
即球面半径为:R= 根号2. 从而,球面面积为:S = 4*pi*R^2= 8*pi.
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