设f（x）在[0，π]上有连续二阶导数，且f（0）=f（π）=0，令an=2π∫π0f（x）sinnxdx，n=1，2，…．证明：∞n=1n2an2收敛．

Question

设f（x）在[0，π]上有连续二阶导数，且f（0）=f（π）=0，令a_n=(2)/(π)

∫

π 0

f（x）sinnxdx，n=1，2，…．证明：

∞

n=1

n2a_n²收敛．

Answer 1

证明：由题设，对n=1，2，…，有

an=(2)/(π)

∫

π 0

f(x)(sinnx)dx=(-2)/(nπ)

∫

π 0

f(x)d(cosnx)

=(-2)/(nπ)[

f(x)(cosnx)|

x=π x=0

-

∫

π 0

f′(x)(cosnx)dx]

=(2)/(n2π)[

∫

π 0

f′(x)d(sinnx)]

=(2)/(n2π)[

f′(x)(sinnx)|

x=π x=0

-

∫

π 0

f″(x)(sinnx)dx]

=(-2)/(n2π)[

∫

π 0

f″(x)(sinnx)dx].

由f（x）在[0，π]上有连续二阶导数，知f″（x）sinnx在[0，π]上绝对可积，
即存在M>0，使得

∫

π 0

|f″(x)sinnx|dx≤M．
于是，n2

a

2 n

=(4)/(n2π2)[

∫

π 0

f″(x)sinnxdx]2≤(4)/(n2π2)[

∫

π 0

|f″(x)sinnx|dx]2≤(4M2)/(n2π2)．
由

∞

n=1

(4M2)/(n2π2)收敛，利用比较判别法，得级数

∞

n=1

n2

a

2 n

收敛．