已知函数，x∈R．(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Question

已知函数，x∈R．
(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？____

Answer 1

【分析】(1)利用二倍角公式和两角和的正弦函数化简函数为y=sin(2x+)+，借助正弦函数的最大值，求出函数y取得最大值时，自变量x的集合；
(2)由y=sinx(x∈R)的图象，按照先φ，向左平移，把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，最后把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图象；

(1)y=cos²x+sinxcosx+1
=(2cos²x-1)++(2sinxcosx)+1
=cos2x+sin2x+
=(cos2x•sin+sin2x•cos)+
=sin(2x+)+.(6分)
y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z，
即x=+kπ，k∈Z．
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ，k∈Z}.(8分)
(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：
①把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin(x+)的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图象；
综上得到函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象．(12分)

【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．注意函数图象的变换的顺序：→φ→ω→A→b的过程．