在等腰Rt△ABC（∠C=90°）内取一点P，且AP=AC=a，BP=CP=b，求证：a2+b2a2−b2为定值．

Question

在等腰Rt△ABC（∠C=90°）内取一点P，且AP=AC=a，BP=CP=b，求证：(a2+b2)/(a2−b2)为定值．

Answer 1

如图：过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得矩形PDCE，有PD=EC，PE=CD，
∵PC=PB，PD⊥BC，
∴DC=DB=(1)/(2)BC=(1)/(2)AC=(1)/(2)a，
∴PE=CD=(1)/(2)a，Rt△AEP中，AP=AC=a，PE=(1)/(2)a，
∴AE＝(√(3))/(2)a，
∴EC＝AC−AE＝a−(√(3))/(2)a=(2−√(3))/(2)a
∴PD=EC=(2−√(3))/(2)a，
Rt△CDP中，PD²+CD²=CP²，
∴((2−√(3))/(2)a)2+((a)/(2))2=b²，
∴

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作业帮用户 2017-10-22

问题解析

过点P作PD⊥BC与点D，作PE⊥AC于点E，可得四边形PDCE是矩形，有PD=EC，PE=CD，进而求得DC=(1)/(2)BC=(1)/(2)a，PD=EC=(2−√(3))/(2)a，在Rt△CDP中，根据勾股定理得出PD²+CD²=CP²，从而得出含有a、b的式子，得出(b2)/(a2)=2-√(3)，即可求得(a2+b2)/(a2−b2)=√(3)．

名师点评

本题考点：

矩形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．

考点点评：

本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，用a、b表示PD、CD、CP是本题的关键．

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