某银行为鼓励居民消费,特推出购车贷款业务,价值22万元的汽车,首次付款2万元,其余按年分期付款,且没年付款相同.如果年利率为7％,要求在15年内还清本利和,按复利计算,每年要还款多少万元?

Question

某银行为鼓励居民消费,特推出购车贷款业务,价值22万元的汽车,首次付款2万元,其余按年分期付款,且没年付款相同.如果年利率为7％,要求在15年内还清本利和,按复利计算,每年要还款多少万元?

Answer 1

每年需付的金额由2部分构成,1部分是欠款,1部分是利息.
设第N年交钱时的欠款为X(N)万元,X(1）=22-2=20.
每年需付的金额为Y.
第N年交完钱后的欠款为Z(N).Z(15)=0.
则,Y = X(N)*7% + X(N) - Z(N).
X(N+1)=Z(N).
Y = 1.07X(N)-X(N+1),N=1,2,...,14.
N = 15时,Y = 1.07X(15).X(15)=Y/1.07
设
0 = 1.07[X(N)+A] - [X(N+1)+A] = 1.07X(N)+1.07A-X(N+1)-A = 1.07X(N)-X(N+1) + 0.07A,A = -Y/0.07 = -100Y/7.
X(N+1)-100Y/7 = 1.07[X(N)-100Y/7]
{X(N)-100Y/7}是首项为X(1)-100Y/7=20-100Y/7,公比为1.07的等比数列.
X(N)-100Y/7=(20-100Y/7)(1.07)^(N-1).
X(N) = 100Y/7 + (20-100Y/7)(1.07)^(N-1).
Y/1.07 = X(15) = 100Y/7 + (20-100Y/7)(1.07)^14 = 100Y/7 + 20*1.07^14 - 100Y*1.07^14/7,
Y[1/1.07 - 100/7 + 100*1.07^14/7] = 20*1.07^14,
Y = 20*1.07^14/[1/1.07 - 100/7 + 100*1.07^14/7]
所以,
每年需付的金额=20*1.07^14/[1/1.07 - 100/7 + 100*1.07^14/7]万元