如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D=30°．（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF=43，求图中阴影部分的面积．

Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，已知∠D=30°．

（1）求∠A的度数；
（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF=4√(3)，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）连接OC，
∵CD切⊙O于点C
∴∠OCD=90°（1分）
∵∠D=30°
∴∠COD=60°（2分）
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO=30°；（4分）
（2）∵CF⊥直径AB，CF=4√(3)
∴CE=2√(3)（5分）
∴在Rt△OCE中，tan∠COE=(CE)/(OE)，
OE=(CE)/(tan60°)=(2√(3))/(√(3))=2，
∴OC=2OE=4（6分）
∴S_扇形BOC=(60π×42)/(360)=(8)/(3)π，S△EOC=(1)/(2)×2×2√(3)=2√(3)（8分）
∴S_阴影=S_扇形BOC-S_△EOC=(8)/(3)π-2√(3)．（10分）