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边长为1cm的正方形,求它内接正三角形面积的最大值?
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边长为1cm的正方形,求它内接正三角形面积的最大值?
▼优质解答
答案和解析
证明 假设ΔEFG为正方形ABCD的任一内接正三角形,由于正ΔEFG三个顶点必落在正方形三边上,不妨设E在AD上,F在AB上,G在CD上.
取FG的中点为K,连DK,则E,K,G,D四点共圆,
故∠KDE=∠KGE=60°.
连AK,同理可得：∠KAE=∠KFE=60°.
所以ΔKDA为正三角形,而K它的一个顶点.
由此可知,内接正ΔEFG的边FG中点必是不动点K.
又正三角形面积由边长决定,
当KF通过B点,即F与B重合时,
易求得边长:1/cos15°=(√6-√2),
这时边长最大,面积为(2√3-3).
取FG的中点为K,连DK,则E,K,G,D四点共圆,
故∠KDE=∠KGE=60°.
连AK,同理可得：∠KAE=∠KFE=60°.
所以ΔKDA为正三角形,而K它的一个顶点.
由此可知,内接正ΔEFG的边FG中点必是不动点K.
又正三角形面积由边长决定,
当KF通过B点,即F与B重合时,
易求得边长:1/cos15°=(√6-√2),
这时边长最大,面积为(2√3-3).
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