如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为．

Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为___．

Answer 1

连结DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D=P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB=60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为4，
∴BD=4，BE=2，DE=2√(3)，
∴△PBE的最小周长=DE+BE=2√(3)+2，
故答案为：2√(3)+2．