双曲线的虚轴长为4,离心率e=2分之根号6,f1,f2分别是它的左,右焦点,若过f1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且IABI是IAf2I与IBf2I的等差中项,则IABI等于?

Question

双曲线的虚轴长为4,离心率e=2分之根号6,f1,f2分别是它的左,右焦点,若过f1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,且IABI是IAf2I与IBf2I的等差中项,则IABI等于?

Answer 1

焦点在X轴,设双曲线方程为：x^2-y^2/b^2=1,
2b=4,b=2,
离心率e=c/a=√6/2,
c=√6a/2,
a^2+b^2=c^2,
a^2+4=3a^2/2,
a^2=8,a=2√2,
∴双曲线方程为：x^2/8-y^2/4=1,
根据已知条件IABI是IAF2I与IBF2I的等差中项,
则|AF2|-|AB|=|AB|-BF2|,
|AB|=|AF1|+|BF1|,
|AF2|-|AF1|-|BF1|=|AB|-|BF2|,
根据双曲线定义,|AF2|-|AF1|=2a=4√2,
4√2-|BF1|=|AB|-|BF2|,
4√2=|AB||-（|BF2|-|BF1|）,
同样根据双曲线定义,|BF2|-|BF1|=2a=4√2,
4√2=|AB|-4√2,
∴|AB|=8√2.