如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．（1）

Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．
（1）求证：△CBA∽△EDC；
（2）请写出点A，点C的坐标（解答过程可不写）；
（3）求出线段EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC⊥AB，CD⊥BC，DE⊥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴△CBA∽△EDC；

（2）设C点的坐标为（a，0），点B的坐标（0，2），
设BC的解析式为：y=kx+2
则：ak+2=0
k=-(2)/(a)
∴CD的斜率=(a)/(2)，
设CD的解析式为：y=(a)/(2)+b
把C点坐标代入得0=(a)/(2)•a+b，b=-(1)/(2)a²，
则：D点的坐标为：（0，-(1)/(2)a²）
又∵DE∥BC，
∴设DE的解析式为y=-(2)/(a)x-(1)/(2)a²，
当y=0时，0=-(2)/(a)x-(1)/(2)a²x=-(1)/(4)a³，
则E点的坐标：（-(1)/(4)a³，0）
又∵AB∥CD
∴设AB的解析式为：y=(a)/(2)x+2，
当y=0时，0=(a)/(2)x+2，x=-(4)/(a)，
则A点的坐标：（-(4)/(a)，0）
∵EA=3AC，所以E点必在A点的左边
AE=|-(1)/(4)a³|-|-(4)/(a)=(1)/(4)a³-(4)/(a)=(a4−16)/(4a)，
AC=|-(4)/(a)|+a=(4)/(a)+a=(a2+4)/(a)，
∴(a4−16)/(4a)=(a2+4)/(a)，
a⁴-16=12（4+a²），
a⁴-12a2

作业帮用户 2017-09-25