定积分,：∫8~0（dx/(1+³√x)),利用换元公式,求出结果与答案不同,主要是原函数与答案不同8P244例一：∫0（dx/(1+³√x))8书上是：=3∫0（t-1+1/(t+1))dt82=3∫0(t²/2-t+ln(t+1))|08而我是：=3

Question

定积分,：∫8~0（dx/(1+³√x)),利用换元公式,求出结果与答案不同,主要是原函数与答案不同
8P244例一：∫0（dx/(1+³√x)) 8 书上是：=3∫0（t-1+1/(t+1))dt 8 2 =3∫0(t²/2-t+ln(t+1))|0 8而我是：=3∫0（（t-1）+1/(t+1))dt 2 =3((t-1)²/2+ln (1+t))|0 结果不一样,怎么回事?t-1的原函数 ,不止一个呀,我取t-1)²/2和书上t²/2-t 结果为何不同,是我错了吗?

Answer 1

求定积分【0,8】∫dx/(1+³√x)
令³√x=u,则x=u³；dx=3u²du；x=0时u=0；x=8时u=2；代入原式得：
原式=【0,2】3∫[u²/(1+u)]du=【0,2】3∫[(u-1)+1/(1+u)]du=3[(u²/2)-u+ln(1+u)]【0,2】=3ln3；
原式=【0,2】3∫[u²/(1+u)]du=【0,2】3∫[(u-1)+1/(1+u)]du=3[(u-1)²/2+ln(1+u)]【0,2】
=3[1/2+ln3-1/2]=3ln3；
结果是一样的!从不定积分的角度看,两个原函数差一个常量：
原函数3[u²/2-u+ln(1+u)]=3[(u²-2u)/2+ln(1+u)]=3{[(u-1)²-1]/2+ln(1+u)}=3[(u-i)²/2+ln(1+u)]-3/2；
与原函数3[(u-1)²/2+ln(1+u)]比较,前者多减了个3/2；这没关系的!不定积分后面都要加个任意常量C；这个C可任意选取.而对定积分的结果不会有任何影响.