自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△

Question

自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5．求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB=BC=6，AC=8，请你作出△ABC的一条“等分积周线”EF（要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E），并说明理由．

Answer 1

（1）不能，
理由：如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S_△ADC=S_△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”

（2）如答图2，连接AE、DE，设BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S_△AEF=S_△DEF，
∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB²+BE²=CE²+DC²，即3²+x²=（8-x）²+5²，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S_△ABE=S_△DCE，
∴S_{四边形ABEF}=S_△ABE+S_△AEF，
S_{四边形DCEF}=S_△DEF+S_△DCE，
∴S_{四边形ABEF}=S_{四边形DCEF}，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一点G，使得CG=AF=2，则有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中，

AF=CG

∠A=∠C

AB=CF

，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S_△ABF=S_△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S_△BFE=S_△EFG，
∴S_△EFC=S_{四边形ABEF}，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如答图4，当BM=2cm，AN=6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．（其实是同一条），
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明）．