已知函数f（x）周期为4，且当x∈（-1，3]时，f（x）=m1−x2，x∈(−1，1]1−|x−2|，x∈(1，3]，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（153，83）B．（153，7）C．

Question

已知函数f（x）周期为4，且当x∈（-1，3]时，f（x）=

m√(1−x2)，x∈(−1，1]

1−|x−2|，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（　　）

A．（(√(15))/(3)，(8)/(3)）
B．（(√(15))/(3)，√(7)）
C．（(4)/(3)，(8)/(3)）
D．（(4)/(3)，√(7)）

Answer 1

∵当x∈（-1，1]时，将函数化为方程x²+(y2)/(m2)=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线 y=(x)/(3)与第二个椭圆（x-4）²+(y2)/(m2)=1=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x-8）²+(y2)/(m2)=1=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，
将 y=(x)/(3)代入（x-4）²+(y2)/(m2)=1=1 （y≥0）得，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），
则（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ＞(√(15))/(3)，
同样由 y=(x)/(3)与第三个椭圆（x-8）²+(y2)/(m2)=1=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜√(7)，
综上可知m∈（(√(15))/(3)，√(7)）
故选B．