（2012随州）如图已知直角梯形ABCD,角B=90度,AD平行BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点（1）求证以AB为直径的圆O,与斜腰CD相切（先声明,这道题题目是2012的中考题目,已知的图形已经画好辅助线,并非网上

Question

（2012随州）如图已知直角梯形ABCD,角B=90度,AD平行BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点
（1）求证以AB为直径的圆O,与斜腰CD相切
（先声明,这道题题目是2012的中考题目,已知的图形已经画好辅助线,并非网上类似的某些题目）

Answer 1

证明：
过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=½(AD+BC)•AB=(AD+BC)•OA
=2(½AD•OA+½BC•OB)
=2(S⊿OAD+S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+S⊿OAD+ S⊿OCD
∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
∴½AD•OA+½BC·OA=½CD·OE
∴½(AD+BC)·OA=½CD·OE
又AD+BC=CD
∴OA=OE
∴E点在以AB为直径的⊙O上,又OE⊥CD
∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切