已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3=5，S8=64，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：1Sn-1+1Sn+1>2Sn（n≥2，n∈N*）．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₈=64，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：(1)/(Sn-1)+(1)/(Sn+1)>(2)/(Sn)（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

（1） 设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则

a3=a1+2d=5

S8=8a1+28d=64

，
解得：a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：∵数列{a_n}的首项为1，公差为2，
∴S_n=n+2×(n(n-1))/(2)=n²，
要证：(1)/(Sn-1)+(1)/(Sn+1)>(2)/(Sn)（n≥2，n∈N^*），
即证：(1)/((n-1)2)+(1)/((n+1)2)>(2)/(n2)，
只需证：[（n+1）²+（n-1）²]n²>2（n²-1）²，
只需证：（n²+1）n²>（n²-1）²，
只需证：3n²>1，
而3n²>1在n≥1时恒成立，并且以上每步均可逆，
从而不等式(1)/(Sn-1)+(1)/(Sn+1)>(2)/(Sn)（n≥2，n∈N^*）恒成立．