在△ABC中，AB=13，BC=14．（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为；（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m

Question

在△ABC中，AB=13，BC=14．
（1）如图1，AD⊥BC于点D，且BD=5，则△ABC的面积为___；
（2）在（1）的条件下，如图2，点H是线段AC上任意一点，分别过点A，C作直线BH的垂线，垂足为E，F，设BH=x，AE=m，CF=n，请用含x的代数式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．

Answer 1

（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，
∴AD=√(AB2-BD2)=√(132-52)=12．
∵BC=14，
∴S△ABC=(1)/(2)BC•AD=(1)/(2)×14×12=84．
故答案为：84．
（2）∵S_ABC=S_ABH+S_△BHC，
∴(1)/(2)BH•AE+(1)/(2)BH•CF=84．
∴xm+xn=168．
∴m+n=(168)/(x)
∵AD=12，DC=14-5=9，
∴AC=√(AD2+CD2)=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH⊥AC时，m+n有最大值．
∴（m+n）BH=AC•BH．
∴m+n=AC=15．
∵m+n与x成反比，
∴当BH值最大时，m+n有最小值．
∴当点H与点C重合时m+n有最小值．
∴m+n=(168)/(14)=∵(1)/(2)AC•BH=84，
∴m+n=12．
∴m+n的最大值为15，最小值为12．